Del álgebra de Baldor a vectores unitarios: dos formas de pensar un problema

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Un día observaba el reloj del comedor y recordé aquellos problemas del álgebra de Baldor que decían:

¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas del reloj forman ángulo recto?

Traté de recordar cómo era que se resolvía el problema pero no pude. En lugar de eso se me ocurrió otra manera. De eso se trata este post, de resolver el problema de dos formas diferentes: la que nos enseña Baldor y con vectores unitarios. La segunda no es tan simple pero es mucho más poderosa, tanto que nos va a decir cosas que ni siquiera habíamos pensado.

La solución de Baldor

Dibujamos las agujas a las 5 en punto. El minutero está en A y el horario está en C. Cuando las agujas forman 90 grados, el minutero está en B y el horario está en D. La solución consiste en expresar la longitud del arco ABCD de dos formas diferentes para luego igualarlas. Así formulamos que

arco AB + arco BD = arco AC + arco CD.

Ahora llamamos “x” al arco AB, que es el ángulo recorrido por el minutero. El arco CD, es el ángulo recorrido por el horario, el cuál se mueve 12 veces más lento que el minutero, por lo tanto el arco CD es x/12. El arco BD corresponde a 90º, o bien 15 divisiones de 1 minuto. Finalmente, el arco AC equivale a 25 divisiones de 1 minuto. Entonces, la suma que formulamos se convierte en

\displaystyle x+15=25+\frac{x}{12}.

Cuya solución es x = 120/11 =10 minutos 55 segundos. Las agujas forman ángulo recto a las 5 con 10 minutos y 55 segundos.

También hay otro momento entre las 5 y las 6 en que las agujas forman ángulo recto, pero no lo consideramos aquí.

La solución con vectores

La solución que se me ocurrió utiliza vectores unitarios. Llamaremos M al vector para el minutero y H al vector para el horario. Una propiedad muy bien conocida de los vectores unitarios es que su producto punto es igual al coseno del ángulo entre ellos. En lenguaje matemático esto se escribe así

\displaystyle {\bf H}\cdot{\bf M} = \cos\theta.

En esta línea de pensamiento, las direcciones en las que apuntan el horario y el minutero se representan así

\displaystyle {\bf H} = \langle\sin (t/12), \cos (t/12) \rangle,

\displaystyle {\bf M} = \langle\sin t, \cos t \rangle,

donde “t” es tiempo en minutos transcurrido desde las 12 en punto. El producto punto entre H y M consiste en multiplicar las respectivas componentes y sumar el resultado. Es decir

\displaystyle {\bf H}\cdot{\bf M} = \sin(t/12)\sin t+\cos(t/12)\cos t.

Utilizando la identidad trigonométrica de la diferencia de dos ángulos podemos escribir esto de forma más simple

\displaystyle {\bf H}\cdot{\bf M} = \cos(t-t/12),

esto último (de acuerdo al enunciado del producto punto) tiene que ser igual al coseno del ángulo entre los vectores. Es decir

\displaystyle \cos(t-t/12)=\cos\theta.

Como el problema dice que el horario y el minutero forman ángulo recto, eso quiere decir que \theta=90^\circ y por consiguiente, \cos\theta=0. Llegamos a la conclusión de que

\displaystyle \cos(t-t/12)=0.

Para terminar de resolver esta ecuación recordamos que coseno es una función periódica y que tiene múltiples soluciones. En lenguaje matemático lo escribimos así

\displaystyle t-t/12=\frac{\pi}{2}+n\pi,

\displaystyle t=\frac{12}{11}\pi\left(n+\frac12\right).

Aqui, “n” es un número entero y \pi representa 180º. Como estamos midiendo los ángulos en divisiones de minutos en el reloj, resulta más consistente colocar 30 en lugar de 180º, pues 30 minutos es media circunferencia en el reloj. Así llegamos la solución final

\displaystyle t=\frac{12}{11}\times30\left(n+\frac12\right)=\frac{360}{11}\left(n+\frac12\right).

Pareciera que complicamos más la solución. En parte es cierto, pero también hemos ganado algo que antes no teníamos: encontramos todos los tiempos para los cuales las agujas forman ángulo recto. Es decir, no solo tenemos los tiempos entre las 5 y las 6 sino ¡todos los tiempos posibles!

Interpretación de la solución con vectores

Para comprender lo que hemos obtenido vamos a hacer un tabla, donde tabulamos los valores de “n” y el correspondiente valor de t=360/11*(n+0.5).

nt = 360/11*(n+0.5)t en hh:mm:ss
016.363600:16:22
140.090900:49:05
281.818101:21:27
3114.5401:54:32
4147.2702:27:16
518003:00:00
9310.909005:10:55
10343.636305:43:38

En la tabla vemos que cada valor de “n” nos da una hora para la cual las agujas del reloj forman ángulo recto. Los valores de n=9 y n=10 son los que resuelven nuestro problema: Las agujas del reloj forman ángulo recto entre las 5 y la 6 cuando el reloj marca las 05:10:55 y las 05:43:38.

Conclusión

Salta a la vista que el segundo método no es tan simple como el primero, pero nos da una solución mucho más general. Es como si hubiéramos hecho una sola pregunta y terminamos con las respuestas a preguntas que nunca formulamos.

Muchas veces los estudiantes se preguntan para qué les va a servir todo lo que se les enseña en el colegio o en la universidad, especialmente cuando se trata de matemáticas. La matemática es una herramienta muy poderosa. Cuando la usamos para analizar las relaciones entre cantidades y objetos resulta que podemos descubrir cosas que ni siquiera estábamos preguntando, justo como en este problema, que al analizar una situación particular, obtuvimos información de todos los casos posibles.

Muchos de los descubrimientos en física teórica se han hecho de esta manera, aplicando las matemáticas y sus reglas al estudio de la naturaleza. Cosas como la antimateria, la famosa fórmula E=mc2, la cuantización de la energía en un átomo, etc. han sido el resultado de cálculos matemáticos, los cuales se han verificado con experimentos.

Ahora siempre que veo el reloj del comedor recuerdo el problema del álgebra de Baldor. Lo que más disfruto es que ahora puedo resolver el problema con mis propios conocimientos.

Reloj del comedor justo a las 5:10:55.

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