Premio Nobel de Física 2020: Cómo fue que Penrose vio el interior de la increíble geometría de un agujero negro

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En resumen…

Vamos a hablar de una mitad del premio Nobel de Física 2020, de la parte teórica, la que corresponde al trabajo de Roger Penrose sobre los teoremas de singularidad que desarrolló en 1965. Para esto vamos a recordar primero el teorema de Pitágoras y cómo es utilizado para analizar el espacio-tiempo en un agujero negro. Vamos a ver al final que en el interior de estos extraños objetos, el tiempo y el espacio intercambian sus roles de tal forma que salir del agujero negro es tan difícil como querer viajar hacia atrás en el tiempo.


La gravedad es geometría

La visión increíble de Einstein fue formular la fuerza gravitacional como la curvatura del espacio-tiempo. Lo que esto significa es que todo lo que necesitamos es un método para medir distancias en un espacio que tiene curvatura. Esto lo hacemos con el teorema de Pitágoras, pero un poquito modificado.

Recordemos que el teorema de Pitágoras relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo así:

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2.

Con la misma fórmula podemos medir la distancia en coordenadas x, y:

\displaystyle \text{distancia}^2 = x^2 + y^2.

Hasta aquí todo es geometría común y corriente. Cuando aplicamos estas ideas al espacio-tiempo, resulta que el tiempo es una coordenada más, y a los puntos del espacio ahora les llamamos eventos del espacio-tiempo. Podemos aplicar la misma fórmula para medir distancia entre dos eventos. Pero para que las cosas funcionen, las distancias en el tiempo (a quien llamamos solo “t”, para abreviar) tienen que ser negativas*

\displaystyle \text{distancia}^2 = -t^2 + x^2.

En esta nueva versión del teorema de Pitágoras ahora podemos tener distancias positivas, negativas e ¡incluso distancias que son cero! No hay ningún problema con esto. Una distancia negativa representa el tiempo que transcurre en el reloj de un observador que viaja entre los dos eventos. Una distancia igual a cero será siempre el camino que traza un rayo de luz al pasar por los dos eventos, y una distancia positiva sigue teniendo el significado usual.

Esta fórmula de distancia se utiliza para estudiar eventos en un espacio-tiempo plano, que no tiene curvatura, es decir, donde no hay gravedad. El efecto de la gravedad como curvatura del espacio-tiempo introduce una nueva modificación en nuestro teorema de Pitágoras. La modificación es que los “lados” del triángulo se pueden deformar dependiendo de dónde nos ubiquemos. En el caso de un agujero negro perfectamente esférico el teorema de Pitágoras queda así:

\displaystyle \text{distancia}^2 = -A \times t^2 + \frac{x^2}{A}.

Esto sale directamente de las ecuaciones de Einstein y es la famosa solución del agujero negro de Schwarzschild. La cantidad que llamamos “A” depende tanto de la masa “M” del agujero negro como de la distancia “x” desde su centro. En realidad es una fórmula bien simple:

\displaystyle A=1-2M/x.

Esto es todo lo que necesitamos saber, es la esencia matemática de un agujero negro. Ahora podemos ver cuál es el origen del horizonte de eventos y la singularidad en su interior.

El horizonte de eventos y la singularidad

Todo se deriva de lo que pasa con “A” para diferentes valores de la distancia “x”. Muy lejos del agujero negro “x” es muy grande por lo que “A” tiende a ser igual a uno. Esto tiene sentido porque recuperamos la fórmula de distancia para un espacio-tiempo plano. En otras palabras, lejos del agujero negro, no sentimos su gravedad.

A medida que nos acercamos al agujero negro “x” se aproxima al valor x = 2M**, vemos que “A” tiende a ser cero***

\displaystyle A=1-2M/x = 1-2M/2M=1-1=0.

¡Esto es terrible! porque ahora nuestra fórmula de distancia queda así

\displaystyle \text{distancia}^2 = -0 \times t^2 + \frac{x^2}{0}.

Al multiplicar por cero el tiempo es como si el tiempo se detuviera y al dividir entre cero el espacio es como si el espacio se comprimiera. Lo que sucede es que estamos en el horizonte de eventos, en el punto más allá del cual ya no podemos salir del agujero negro.

El otro punto problemático es precisamente en el centro el agujero negro, cuando “x=0”. En ese lugar la curvatura se hace infinita y la Relatividad General ya no nos da respuestas. Esto es lo que llamamos la singularidad, donde toda la masa del agujero negro está concentrada en un pequeñísimo lugar. Se piensa que una teoría cuántica de la gravedad podría arrojar luz sobre la naturaleza de la singularidad.

Ahora veamos la contribución de Roger Penrose a la naturaleza de los agujeros negros.

Adentro del agujero negro

El concepto fundamental es el de superficie atrapada. Una superficie atrapada es aquella en donde los rayos de luz que se originan en la misma superficie terminan reuniéndose en un punto. Para comprenderlo veamos esta figura:

Supongamos que al estar parados sobre un cascarón esférico podemos apuntar con una linterna hacia el centro. Todas la flechas que apuntan hacia adentro son rayos de luz que convergen en un punto, es decir, en el centro. Las flechas que apuntan hacia afuera de la superficie son rayos de luz que escapan al infinito y nunca van a llegar a reunirse. Pues bien, en el interior de un agujero negro lo que sucede es que la luz que se dispara hacia afuera no escapa del agujero negro sino que termina también convergiendo en un punto. Por extraño que parezca, el espacio-tiempo dentro del horizonte de eventos es tal que aunque la luz siga las flechas hacia afuera, va a terminar convergiendo en la singularidad. Esta es la idea de una superficie atrapada. No importa hacia donde apuntemos la luz en la esfera, siempre va a terminar en el mismo lugar.

Roger Penrose (wikimedia commons)

Una superficie atrapada es algo así como una superficie esférica en donde solo podemos estar en su interior y no tenemos la opción de colocarnos en la parte de afuera. La geometría del espacio no nos lo permite.

Con estas ideas Penrose demostró que las trayectorias que entran a un agujero negro terminan todas en la singularidad. No hay manera alguna de extenderlas más allá ni tampoco de que salgan del agujero negro.

Esto se entiende al ver que el espacio y el tiempo invierten sus roles en el interior del agujero negro. Lo cual se puede apreciar notando que cuando estamos a una distancia menor al horizonte de eventos, es decir, cuando x < 2M, el valor de “A” cambia de signo y la fórmula de distancia queda algo así:

\displaystyle \text{distancia}^2 = (\text{un n\'umero}) \times t^2 - \frac{x^2}{(\text{un n\'umero})} .

Lo que es crucial y absolutamente increíble es que al principio dijimos que para que las cosas funcionaran, las distancias en el tiempo tenían que ser negativas. Pero ahora resulta que el signo menos lo tiene el término de “x” y el término de “t” ahora es positivo. En en otras palabras, el espacio ahora se comporta como tiempo y el tiempo ahora se comporta como espacio. Caer hacia adentro del agujero negro es como ir hacia el futuro e intentar salir del mismo es como querer viajar hacia el pasado.

Viendo el interior del agujero negro

En el sentido estricto, nunca vamos a poder ver qué hay adentro de un agujero negro. Sin embargo, lo podemos explorar matemáticamente. Los teoremas de singularidad de Roger Penrose establecen que cuando se forma una superficie atrapada, el colapso gravitacional es inevitable, toda la masa de lo que fue en su momento una estrella brillante se concentra para formar un agujero negro.

Este fue el trabajo que Roger Penrose desarrolló en 1965 y por el cual se hizo acreedor a la mitad del Premio Nobel de Física 2020.

Roger Penrose en una conferencia como parte de la celebración de los 60 años de Abhay Ashteckar en Pennsylvania State University, 2009. La foto está un poco oscura, fue la mejor que pude tomar.

* La fórmula es válida solo para distancias pequeñas, las cantidates “t” y “x” en realidad son diferenciales “dt” y “dx”.

** La distancia al horizonte de eventos es 2GM/c², pero para simplificar las cosas usamos unidades en donde G = c = 1.

*** El problema con la distancia en el horizonte de eventos es un problema con las coordenadas que se utilizan. Al cambiar de coordenadas desaparecen los problemas con la distancia.

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