Observaciones sencillas en un modelo SEIR simplificado

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En resumen

El modelo SEIR nos dice que el crecimiento de infectados al inicio de la epidemia es exponencial. Este es justamente el patrón que muestran los datos oficiales. Simplificando el modelo para el inicio de la epidemia encontramos una fórmula que relaciona la tasa de crecimiento exponencial con los tiempos de incubación e infección y con el número de reproducción R0, siendo independiente del número de infectados. Esto pone de manifiesto que la tasa exponencial de la epidemia depende del comportamiento de las personas en el sentido de respetar las medidas de distanciamiento. Tomando los últimos días de datos tenemos que el período de duplicación es ~8 días, lo cual coincide con el número reportado en Our World in Data (9 días) que es calculado con un método más simple.

Modelo simplificado

Jugando un poco con las ecuaciones del modelo SEIR podemos llegar a un resultado interesante. Como expliqué en el post anterior, el modelo se usa para entender el avance de una epidemia considerando cuatro grupos de personas: Susceptibles, Expuestos, Infectados y Recuperados. Para obtener información del modelo se necesita resolver las ecuaciones en una computadora. Sin embargo es posible extraer información de él sin usar la computadora, siempre que sea al inicio de la epidemia.

Cuando los contagios empiezan, el número de personas Susceptibles es prácticamente igual a la cantidad total de personas, pues todavía son pocas las personas Expuestas e Infectadas. En este régimen las ecuaciones se simplifican un poco y es posible encontrar una solución para el número de Expuestos y el de Infectados. La solución que crece exponencialmente para el número de Infectados (la otra solución decae exponencialmente, por tanto no la vamos a considerar) es

\displaystyle I(t)=I_0 e^{mt},

donde I_0 es el número inicial de Infectados y m es el valor positivo de

\displaystyle m = \frac{1}{2} \left\{ -\left( \frac{1}{T_\text{inc}} + \frac{1}{T_\text{inf}} \right) \pm \sqrt{\left( \frac{1}{T_\text{inc}} - \frac{1}{T_\text{inf}} \right)^2 + \frac{4R_0}{T_\text{inf} T_\text{inc}}} \right\}.

Recordemos que Tinc y Tinf son los tiempos de incubación y de infección, R0 es el número básico de reproducción del virus (el número promedio de contagios que un Infectado produce en una población sana).

¿Qué nos dicen las fórmulas? Nos dicen dos cosas. La primera es que el crecimiento del número de infectados al inicio de la epidemia es exponencial. La segunda es que el ritmo exponencial (dado por m) es independiente de la cantidad de personas, depende de los tiempos de incubación e infección y del número de reproducción R0. En otras palabras, la tasa exponencial de crecimiento depende del comportamiento de las personas. Esto se debe a que R0 va a ser grande si no se toman medidas de distanciamiento, pero R0 es bajo si se cumple el distanciamiento entre personas. Recordemos también que para que la epidemia termine, R0 debe ser menor que 1.

¿Qué nos dice la fórmula de nuestros datos?

Si fijamos los tiempos Tinc y Tinf a los valores 5.2 y 2.9 días respectivamente (son los valores promedio reportados en algunos estudios) entonces podemos utilizar la fórmula de dos formas. Una es: dado R0 podemos calcular m (la tasa de crecimiento exponencial). La otra forma es al revés: sabiendo m podemos calcular R0.

Número de casos activos y curva de ajuste exponencial en escala logarítmica. Fuente: elaboración propia.

Despejando R0 en términos de m nos queda

\displaystyle R_0=m^2 T_\text{inc} T_\text{inf} + m(T_\text{inc} + T_\text{inf}) +1.

Dados los datos para el número de infectados activos podemos encontrar el número m ajustando una curva exponencial a los datos, como se ve en la figura. Este valor es m=0.1098 (descartando los primeros 11 días de datos, ya que ese período no corresponde al régimen de crecimiento exponencial). Utilizando la fórmula anterior obtenemos un R0=2.07.

Al conocer el exponente m también se puede calcular el tiempo de duplicación así

\displaystyle \text{T. duplicaci\'on} = \frac{\ln 2}{m} = \frac{0.6331}{m}.

Esto nos da 6.31 días, que es menor que el dato que reporta Our World in Data donde vemos que a la fecha es 9 días. Si tomamos únicamente los últimos 10 días de datos (los que presentan un mejor comportamiento exponencial) el tiempo de duplicación es 7.9 días, lo cual se aproxima bastante bien a los resultados del sitio mencionado que están calculados con un método más simple.

Conclusión

Lo que sacamos de este pequeño cálculo es lo siguiente:

  1. La tasa exponencial depende del número básico de reproducción R0, el cual es una medida de qué tanta interacción hay entre entre personas infectadas y sanas.
  2. Sabemos (debido al subregistro) que hay más personas infectadas de las que reportan las cifras oficiales. Por lo tanto, aunque un R0=2.07 es bajo, puede que su valor sea en realidad más alto. Por tal motivo debemos seguir practicando el aislamiento entre personas.
  3. Sería bueno saber si los tiempos promedio Tinf y Tinc que se usan en otros países siguen siendo válidos en nuestro caso.
  4. Los datos oficiales son un agregado de casos importados y casos comunitarios cuyo conteo neto sigue una tendencia exponencial. Esta situación no se ajusta a las premisas del modelo, donde todos son casos locales (comunitarios). Por tal razón los resultados del modelo son una semblanza de la situación real y están sujetos a mucha incerteza.

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