Calculando Pi con números aleatorios

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Es 14 de marzo una vez más, el día de Pi, es decir 3/14, que vienen siendo las primeras 3 cifras del número \pi .

Para celebrar el día veamos un método peculiar para calcular Pi con números aleatorios por medio de una simulación por computadora. Supongamos que tenemos un cuadrado. Adentro del cuadrado dibujamos un círculo de radio r:

Si estas figuras estuvieran dibujadas sobre el suelo, al aire libre, y de pronto empieza a llover, habrá gotas que caen dentro del círculo y otras que caen dentro del cuadrado pero fuera del círculo. El lugar donde cae una gota lo consideramos aleatorio. La probabilidad de que una gota caiga dentro del círculo es la razón entre las área de las dos figuras. Así:

\displaystyle \text{probabilidad} = \frac{\pi r^2}{4 r^2} = \frac{\pi}{4}.

Es decir que el número Pi es 4 veces la probabilidad de que una gota de lluvia caiga dentro del círculo. Si hiciéramos el experimento, podríamos encontrar esa probabilidad contando el número de gotas que quedan dentro del círculo y dividiendo entre el número de gotas que quedan dentro del cuadrado.

Podemos simular el proceso con un pequeño programa de computadora (C++). Generamos posiciones aleatorias para las gotas y contamos dónde caen. Luego visualizamos los datos con un script de Gnuplot haciendo una película, el resultado se ve en el siguiente video.

Mientras más gotas contemos, mejor será la aproximación. Aquí llegamos al valor de 3.14 con unas 21,000 gotas. Si queremos más decimales hay que simular más datos.

Este tipo de simulación es un ejemplo del método conocido como Monte Carlo, en donde se utiliza números aleatorios para simular el problema que nos interesa. Para calcular Pi, este no es el método más eficiente, sin embargo nos da una forma de entender la conexión entre áreas, probabilidades y el número Pi.

¡Feliz día de Pi!

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