Péndulos y animaciones en 3D

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Este semestre estoy dando el curso de Mecánica 2, en donde vemos cosas como la rotación de objetos alrededor de un eje, gravitación, sistemas de coordenadas no inerciales y mecánica de fluidos.

Uno de los primeros temas es el movimiento de un péndulo, considerado como la rotación parcial alrededor de un eje. El péndulo ha sido de crucial importancia en la historia de los dispositivos para medir el tiempo: los relojes. Debido a su movimiento periódico, fueron utilizados para registrar el paso del tiempo de manera precisa para su época. Por tal razón, era muy importante saber qué factores intervenían en el período de oscilación de un péndulo.

Lo que usualmente nos enseñan en los cursos de física es que el período de oscilación —el tiempo que tarda en completar un ciclo— depende únicamente de la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad, esta forma:

\displaystyle \text{Per\'iodo} = 2\pi \sqrt{\frac{\text{longitud}}{\text{gravedad}}}.

Es decir que mientras más largo, más grande es el período; y que un péndulo en la Luna (donde la aceleración de la gravedad es menor) tendría también un período más grande que en la Tierra.

Sin embargo, esta fórmula es válida solo como una aproximación, ya que para deducirla se asume que el ángulo de desplazamiento, medido desde la vertical es pequeño. ¿Qué tan pequeño tiene que ser?

Segunda ley de Newton para el péndulo

Cuando estudiamos el péndulo en el laboratorio de física, a uno le recomiendan que el ángulo inicial o amplitud, no sea mayor a 5º. En ese momento uno lo cree porque así lo dice el instructor y porque al final de la práctica uno comprueba que la fórmula de arriba en realidad funciona.

¿Qué pasa si la amplitud no es pequeña? Pues notaremos que el tiempo que tarda en oscilar es mayor a lo que dice la fórmula. Lo que sucede es que cuando aplicamos la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento del péndulo es

\displaystyle \text{aceleraci\'on} = -\frac{\text{gravedad}}{\text{longitud}}   \sin \theta,

donde \theta es el ángulo medido desde la vertical. Utilizando el magnífico poder de la expansión en series de Taylor, podemos comprobar que para ángulos pequeños la función trigonométrica seno cumple con que \sin \theta \approx \theta . Eso permite resolver la ecuación y nos da el período en términos de la longitud y la gravedad.

Si el ángulo no es pequeño, no podemos hacer la aproximación y las cosas se complican. El análisis todavía se puede realizar pero ya no tendremos una fórmula tan simple como la primera. En este caso más general la fórmula queda así:

\displaystyle \text{Per\'iodo} = \left(\frac{l}{g}\right)^{1/2} \int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{\sqrt{1-a^2 \sin^2 \phi}}.

Esta es una integral elíptica que solo podemos evaluar numéricamente. Algunos paquetes de gráficas como Gnuplot la tienen definida como EllipticK(x). La amplitud del péndulo entra en el valor del parámetro a . El resultado de la integral se puede visualizar así:

Gráfica de la integral elíptica (Wikipedia)

Es una curva casi plana al inicio, esos son los ángulos pequeños, y se dispara rápidamente cuando la amplitud aumenta.

Visualizando el movimiento

Para ilustrar el caso general, podemos resolver la ecuación del péndulo en forma numérica y hacer una animación para entender visualmente cómo oscila. Así es que utilizamos el método numérico de Runge-Kutta para resolver la ecuación diferencial. El resultado es un archivo de datos que contiene el ángulo al que se encuentra el péndulo para diferentes instantes de tiempo. Con esa información podemos utilizar el software que más nos guste para hacer la animación. A mí me gusta mucho usar Blender, porque tiene toda la capacidad de generar objetos sofisticados en una escena tridimensional, a los cuales les podemos incorporar el movimiento calculado de forma precisa con las ecuaciones de la física.

En este video hemos simulado (resuelto la ecuación) para 36 péndulos exactamente iguales, con amplitudes desde 1º hasta 36º. Vemos que efectivamente el período de oscilación casi no cambia para los ángulos más pequeños, éstos se mueven al unísono. Para los ángulos más grandes vemos que se produce un desfase que se acentúa con el tiempo.

Para ver el efecto de amplitudes grandes simulamos otros cinco péndulos iguales, con ángulos iniciales de 30º, 60º, 90º, 120º y 179º. Este último ángulo es casi como si el péndulo estuviera inicialmente vertical. Aquí vemos que los períodos de oscilación varían mucho, tal como lo predice la gráfica de la integral elíptica.

Conclusión

Combinar física con métodos numéricos y software 3D puede resultar en escenas con un toque muy personal (debido a la gran libertad de creación) y con movimientos precisos, calculados con las leyes de la física.

Pero sobre todo no hay que olvidar que uno hace estas cosas porque hacer ciencia es divertido y entretenido.

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